集合論

實在難以想像 整個數學大廈 理性思考的一切 是由10個集合論公里開始的
只要允許的空集合 加上交集聯集 powerset 等等

透過Von neumann construction 集合論 可以創造 正整數
每個正整數 是一個集合 加法+1 用union 定義 正整數
乘法 也可以定義 有正整數 透過集合論 Grothendieck construction 就有 整數 之後 (a,b) same as (c,d) if ad=bc
就有有理數 之後學高等微積分 Dedekind cut 或 Cauchy sequence 就有實數 就有實分析 和 整套微積分
微積分就建立在 Real number 上


線性代數 先從集合論 和第十條的選擇公里 等價於zorn's lemma zorn's lemma可以證明 所有向量空間都有基底
有基底 線性變換 就可以寫成矩陣 就可以討論整個線性代數

其他代數工數拓撲幾何 等等結構 都可以說是這些東西的延伸

但10條公里 一開始就會遭遇到 continuum hypothesis
Hilbert 23數學問題 第一問 就是這個 就會遭遇到 後面無限大的問題 大型基數的很多猜想難以被證明 還有godel incompleteness theorem 難以想像 這些精妙的世界 我學了十幾年的好多的鬼東西 竟然次從10條公里出發得到的.......
很多大神前人在20世紀初 對抗infinities
很多人都在懷疑自己有沒有發瘋 很多後來發瘋了

因為一直鑽 遭遇到那些世界很本質的問題 某種程度上 number theory 那些問題 都是自然從集合論Von neumann construction生出來的 一切的理性思考源頭 都是如此 太深了