Spinor (旋量) 是啥小

Lie 群再突破 到達下一個境界 以前場論量子力學很多講不清楚 今天可以說清楚了 心開意解了

先講量子力學 觀念是李群G 是個manifold 他的identity 的切空間 會有個結構 叫做李代數 反過來李代數 會唯一決定一個simply connected lie group (universal lie ) 至於其他這樣李代數的李群咧

就是這個李群的quotient 一個finite group 來的

這個universal lie 的群表現 全部由 lie algebra

至於其他比較小的李群 就形成projective representation

量子力學 的SU(2) 跟SO(3) 有2-1關係 他們不是同個群 但是李代數都是三個generator 所以量子力學從李代數出發 發現0,1/2,1, 等李代數表現 這些是SU(2) 的群表現 但裡面有一半不是SO(3)的

因為SO(3) 拓鋪上 不是simply connected 完全就是上面的故事

所謂spinor representation 就是 SO(n) 的李代數 so(n) 的表現

但那些表現不存在 SO(n) 裡面 而存在他的universal double cover spin(n)上 之所以會有這種東西 是因為SO(n)不是 單連通

他的fundamental group = Z/2

他的second cohomology group with 係數 U(1) =Z/2

完全就是上面的故事 更細節 n 是奇數 spinor 是 不可約的

n是偶數 是可約的 所以有weyl spinor 存在

所以李代數的表現 並非都是裡群的表現 一班來說是 projective rep 而不是一班的rep 這解釋為何spinor 不能用tensor寫成

一班李群的rep 都可以用fundamental weight 表現 形成highest weight = verma module

當然這還有rank, cartan algebra 等細節 但就是如此 這就是真相

有人問你 spinor是啥? 現在可以講的完全嚴謹 不只是智障raising lowering operator 什麼半整數 什麼bra ket 一堆講不清楚的量子力學 量子場論課本

而是weight,root, cartan 李群 李代數 群表現 Killing form, maximal torus