射影空間(projective space 三種境界)

 今天上ag 又多了一點理解 以前 projective space之所以這麼難

是因為我們都只看它是一個set 以前大家最愛說 拿複數說

(x1,x2...xn)~a(x1,x2,...xn)

if a不等於0, (x1,x2...xn) 不全為0

這個只能當作集合 而沒有考慮他上面的 topology

第二種境界 就是他是幾個open cover of C 蓋起來得

還有很多老師都會說 projective space 就是 幾個 負數平面 拼起來 講這種話是對 這已經看出 projective space 是一個smooth compact manifold 但這樣還是不夠 然而多數理論物理人 大概只到這裡 所以這大概是為何要理解 bundle or cohomology 在這些空間上 這些是這樣難 因為只講到拓鋪拼起來

第三個境界

其實 他們glue起來時候 上面的structure sheaf也被拼起來 不只這些平面 拼出來 而這些平面空間上的函數 也黏起來 從這角度 射影空間

就變成gluing scheme 有更多豐富的結構 他上面的數學結構也一起融合了

但以前老師 多數只講了境界一或二 多講一句 境界馬上高十倍

甚至 老師只會說 阿你把一個complex plane 無限遠加進來就變成sphere 這些都該去搞科普 因為有說等於沒說

如果到第三個境界 view projective space as gluing scheme

馬上可以證明 Liouville's Theorem: bounded holomorphic function on the entire complex plane must be constant

以前可以用大學部複變解析證明

或是 偷看allen hatcher 代數拓撲

但用第三種境界來看 馬上就證完了 因為上面的section 就是holomorphic function 必須agree on open cover

真的太奧妙 大家總是想著空間 想著manifold 想著球

但 grothendieck 說要view 空間as spectrum of 某些ring

空間就消失了 變成交換環 存在先於本質 要不受於 那些直覺思考 才能更到後面更高境界

Grothendieck 有多高 我今天才知道 高到不可思議 這種數學 真的會發瘋 熟悉的一切世界 都空了