Modularity theorem and Fermat Last Theorem

1. The Fermat last theorem  :

懷念起國中看楊維哲數學書  here 證明 說x^4+y^4=z^4 沒正整數解，適用所謂的遞迴法，那時懂了很高興，隔天，去學校跟同學分享，同學沒人鳥偶:
書本 提到 費馬大定理 x^n+y^n=z^n 沒正整數解，說Wiles 10歲看到這題目，到他當到數學教授，自己幹了快10年，才解決困擾數學家四百多年的難題，被稱做數學20世紀大勝利
Wiles為了解決這難題花了不少心力，前人做了很多特別的n 但是還有更多n無法一一解決 Wiles 做了 橢圓函數 和 模形式對應: 這個定理非常深，以下我也只能做，我數學實力有辦法的介紹:
規定一下符號
$\mathbb{Z}$  意思是整數，
$\mathbb{Q}$ 意思是有理數

Fermat last theorem:

in order to proof for some special case like k=4. One can see the youtube video XD.
這東西敘述很好懂，意思是 國中我們學過畢氏定理，有很多組畢式數:
$3^2+4^2=5^2, 5^2+12^2=13^2...$之類，但如果改成
$$x^k+y^k=z^k$$ k是大於2的整數，則不可能會有x, y, z都同時是正整數解的情況。
歷史上，有許多數學人做過特別的k，像是高斯，Euler，等等，但整數無限多，無法全部做完。

整篇文章，就是想要粗淺的介紹，Wiles 如何證明這個定理，以及一些需要的數學簡介。

Elliptic curve :

什麼是橢圓曲線呢: 既然是curve，就是 (x,y)的點集

簡單說，就是形如

$$y^2+a_1xy+a_3y=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6$$

這裡只考慮$a_i, i=1,2,...6$ 都是有理數。

註解一下:橢圓函數在complex field 下 就變成Torus,這個目前不是很重要。

數學家的一個目標是要能夠解elliptic curve 有多少有理數解?

這個問題非常困難，可以參見BCD 猜想，但是我們可以退一步想，把它reduce到有限體之下有多少解:

什麼叫做把它在放有限體之下呢:
有限體p(p是質數，以下快速簡介一下):
記$F_{p}$ 為有限體集合，集合的元素 記成: $0, 1, 2,......p-1$
這個體系裡面有加減乘除 但算出來可能超過p 這時候就取於餘數 : 計算時候 記成mod p，簡單幾個例子，以$F_7$ 來看
$$2*3=6, 2*4=8=1( mod7 )$$
大概大家 只有除法有問題，比方 $$4/5  ( mod7 )$$ 是什麼?  $5*3=15=1+2*7 =1 (mod 7)$
意思是 $$4/5=4*5^{-1}=4*3=12=5 (mod7)$$
$F_{p}$ 形成一個Field.

所以我們可以問 一個代數方程式在Finite Fields 下: 解的個數:
小例子

所以2 是這個方程式的解在模5之下.

給定一個橢圓曲線E:
考慮 寫 $\# E(F_l)$ 為  $\mathbb{F}_l$ 解的個數 且定義 : $a_l=l+1- \# E(F_l)$




我們來看1個小例子
考慮 $$y^2+y=x^3-x$$ 這個橢圓曲線
發現 $$2^2+2-4^3+4=-56=0 (mod 7)  \to (4, 2) \in \mathbb{F}_7$$
我們可以做一張表出來，看看這個橢圓函數 在 $\mathbb{F}_p$ 有多少解?
列表如下





定義一個橢圓曲線的L函數:
$$L(E,s)=\prod _p \frac{1}{1-\frac{a_p}{p^s}+\frac{1}{p^{2s-1}}}$$

註:嚴格來說 L 函數定義起來沒有這樣簡單，並不是所有質數都是可行的，因為有些質數之下，橢圓函數就不再光滑了。但這裡可以先忽略。

(模形式)Modular form  :

模形式是近代非常特殊的一種函數，可以看我其他的blog，如果會寫完的話XD。.
這裡可以快速簡介一下:
先定義 一個群: 想像成是矩陣的集合也可以:
$a, b, c, d \in \mathbb{Z}$
$$SL(2, \mathbb{Z}) = \left( \begin{array}{cc}  a & b \\  c & d \end{array} \right) :  \text{ad}-\text{bc}=1$$

簡單說 某種函數 f (weight k) 滿足
$$1 : f(\frac{ax+b}{cx+d})=(cx+d)^kf(x) \text { for all elements in } SL(2, \mathbb{Z})$$ $$2: f\text{ is holomorphic on the upper half plane}$$ $$3: Im(x) \to \infty , \text{ f is bounded}$$

就叫做weight k 模形式:
對於模形式 我們發現有
$$f(\tau +1)=f(\tau ), f\left(\frac{-1}{\tau }\right)=\tau ^kf(\tau )$$
所以 如果令 $q=e^{2i\pi \tau}$
我們自然有q expansion (q 不變當  $\tau \to \tau+1$ ):
$$f(\tau )=\sum _{n=0}^{\infty } a_nq^n$$
我們ˊ當然也可以定義 相對應的 L 函數 (注意 這時候是對一個模形式:)
$$L(f,s)=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{a_n}{n^s}$$ . (  $a_n$ ) 一般來說形式非常複雜 ).
有時候 模形式不會強求 於 $$SL(2, \mathbb{Z})$$ .
定義$SL(2, \mathbb{Z})$的subgroup, c是n的倍數 :
$$\Gamma _0(n)=\left( \begin{array}{cc}  a & b \\  c & d \end{array} \right): \text{ad}-\text{bc}=1  , c=0(\text{Mod} n)$$

有時會說 這個 模函數 階數是n 意思是
$$1 : f(\frac{ax+b}{cx+d})=(cx+d)^kf(x) \text { for all elements in } \Gamma _0(n)$$ .
意思是他只在一個子群裡面不變。

這兩件事情，橢圓函數，和模形式看起來好像無啥關連。

這裡給一個超級有名的modular 函數: 

Ramanujan_tau_function

他的q expansion = $$f=\prod _{n=1}^{\infty } q\left(1-q^n\right)^{24}=\sum _{n=0}^{\infty } \tau (n)q^n$$

Ramanujan 對於這個 $\tau (n)$ 給出三個猜想，最後一個一直到近代50年才被證明出來。
有興趣可以看 Weil Conjecture.

Modularity theorem:

In a simple form, Given an elliptic curve E
one can associate a L function.
There exists a modular form  f of weight N. Its L function is the same as that elliptic curve E.
In 1994, Wiles and Taylor give the case for semisimple elliptic curve. After that, the full generalization have been proved.

簡單解釋如下: 給定一個橢圓曲線E (係數是有理數)，自然存在一個模形式f of weigh 2 order 是N (N唯一被橢圓曲線決定) ，他們兩人的Ｌ函數相等
$$L (f, s)=L (E, s)$$ .
這裡要解釋一下，這個N是可以由橢圓曲線決定的，叫做conductor，定義太困難這裡就不說了。 說得更明白些 存在f是個模函數階數 weight 2 階數 是 N 使得
$$a_0=1 , a_p(f)=a_p(E)$$ 對於所有的 質數成立。
這個定理太可怕了!!!!

我們來看1個小例子
考慮 $$y^2+y=x^3-x$$ 這個橢圓曲線
發現 $$2^2+2-4^3+4=-56=0 (mod 7)  \to (4, 2) \in \mathbb{F}_7$$
我們可以做一張表出來，看看這個橢圓函數 在 $\mathbb{F}_p$ 有多少解?
寫 $\# E(F_l)$ 為  $\mathbb{F}_l$ 解的個數: $a_l=l+1- \# E(F_l)$
列表如下

看起這些係數，似乎很混亂，也不太好找規則，但神奇的事情是:

真的存在一個模函數的 L函數，和這些係數是吻合的:

考慮這個函數

$$F(q)=q\prod _{n=1}^{\infty } \left(1-q^n\right)^2\left(1-q^{11n}\right)^2=\sum _{n=0}^{\infty } b_nq^n =q-2 q^2-q^3+2 q^4+q^5+2 q^6-2 q^7+O[q]^{10}$$

打開mathematica 按一下 即可知道答案:

會發現 這個$b_n=a_n$ 每一項都一樣!!!! OMG

一般來說，要真正找出這個函數非常困難，反正存在就是惹。

Fermat’s Last Theorem

先來介紹這東西:The Frey Curve (1984): 
邏輯如下: 先假設費馬大定理錯，意思是存在一個非平反解，造出一個橢圓曲線，計算表明這個橢圓曲線的模形式是不存在的，所以矛盾，費馬大定理正確!!! (假設p是質數)
(1) $$a^p+b^p=c^p$$ 假設有正整數解，可以假設
\( a=-1(mod 4), b=0 (mod 2) \)
定義 $$y^2=x(x-a^p)(x+b^p)$$  
這是一個有理數的橢圓曲線。
(2) 透過Wiles 定理，知道存在一個模函數Weight=2, N=2 的模形式，但事實上，並不存在這樣的模形式。
(3)費馬大定理得證!!!

有空我會補足玩其他更多細節，希望大家多多分享。

Refercnce

1. Modularity theorem
2. http://math.mit.edu/~brubaker/Math784/spacesofmodularforms.pdf
3. https://www.universiteitleiden.nl/binaries/content/assets/science/mi/scripties/dobbendebruynbach.pdf
4. https://www.math.wisc.edu/~boston/FLTHu.pdf