L function 的奧秘 和 千禧年大獎

  All of problems can be found at Clay Mathematics Institute 

  誰知道 L function 的奧秘，就會拿兩百萬美金!!!，七大數學難題 riemann hypothesis and swinnerton dyer conjecture都是關於L function的: 以下小文章給個粗淺介紹:

  簡單說 給個代數方程數組，如果在 complex coefficient 了解，那就有代數幾何，可以變成manifold來研究，此時就有一堆道具啦，比方代數拓撲，微分幾何等等等等，有Poincare lemma 用來計算一些拓鋪性質，但考慮，有理數，或是質數(FINITE FIELD) 就很可怕: 比方X^2+1=0，當然沒有實數解，但在MOD 5之下有解，因為2^2+1=5=0在模5之下 ，wow ，所以在modp 有幾組解? (這個問題也不簡單)。

  考慮 Finite field之下，代數方程組，數學家定義出某些函數叫做l函數，這些l函數，看起來都很簡單，像是黎曼函數，1+1/2^s+.......大一新生都知道他收斂 但是他解析延拓以後，就產生一些怪東西，除了函數，變複雜，那singularity，自然反應出，這個代數方程的某些神秘資訊，黎曼猜想 對應到 質數分布 那個1/2 有很多秘密在裡面。

   另一個叫乏人問津的，swinnerton dyer conjecture，大家比較少接觸，有空會寫專文來說明一下，我也是幾年前才看相關東西，橢圓曲線，進代數學可以說有太多東西跟橢圓曲線分不開惹，密碼學到費馬大定理Fermat's Last Theorem ，都和橢圓曲線分不了關係:

如果複數情況下，橢圓曲線可以看成一個TORUS，但當有理述的狀況下，知道橢圓曲線是個FINITELY GENERATED ABELIAN GROUP. 她自由的PART叫做RANK。

實驗表明，總有rank夠大的橢圓曲線，可以做密碼學，就跟無限多的質數一樣，swinnerton dyer conjecture說L function，可以在 finite field研究有多少解，然後解析延拓， 過程中的那個singularity的 order 就對應到這個橢圓曲線的rank.....

誰在意200萬美金? 這不是重點? 重點是 不知道偶們有生之年 有無˙機會 看到 L function的秘密
可能有賴 超級天才。