集合論

集合論 基本但他的 深刻內涵 超出我們的想像 1900以前 大家認為數學最基本的概念 就是 SET 集合 集合是沒有嚴格定義 你可以亂講 把一些性質集合起來就叫做"SET"集合 蘋果 香蕉 人類 可憐人之類
但1900前後數學開始往嚴密性發展 包含ANALYSIS的嚴謹 GROUP THEORY 非歐幾何 等等 大家發現 SET 越來越危險

你看RUSSELL 說的 你另一個集合S={R 滿足 R不屬於R}
那你問S是否屬於他自己 馬上產生矛盾 S屬於S 則S不屬於S 反過來也錯 可見這句話有問題 集合不可以亂講
有人會覺得這例子沒梗 在玩邏輯
有個例子不錯 所有的集合蒐集起來不是集合 假如是 那他的POWER SET怎辦? 他的POWER SET 比他更多元素 可你照定義 POWER SET是他的子集 他的"基數"比那個集合小 產生矛盾
後來才有1900以後 ZFC 集合論公理 系統 當然很多人做這個後來瘋掉了..CANTOR GODEL這些人 因為太基本 以至於很多細緻的矛盾是超出我們想像的 反直覺的像是continuous hypothesis or Banach–Tarski paradox


公理系統明確說明 哪些東西不是集合....比方 所有的向量空間 還有一些更細緻的例子
可你在仔細想 function是怎定義的 你有兩個集合 你把一個元素跟另一個元素對應 聽起來很隨興 沒有啥要求 可你其實需要定義在set上 這些東西太基本了 很危險 他動搖到我們思考的核心
還有一個噁心東西是
axiom of choice這太玄妙了 集合論裡他是一個無法證明的命題 你接受他 他就會給妳很多數學基本的結果 可他基本到無法想像了 下次再說