量子異常霍爾效應

量子異常霍爾效應是異常霍爾效應的“量子”版本。儘管異常霍爾效應需要結合磁極化和自旋軌道耦合來產生有限的霍爾電壓，即使在沒有外部磁場的情況下（因此稱為“異常”），量子異常霍爾效應仍是其量化形式。霍爾電導率獲取與電導量子的整數倍成正比的量化值

，並且在這方麵類似於量子霍爾效應。這裡的整數等於由材料能帶結構的拓撲特性引起的chern number。這些效應在稱為量子異常霍爾絕緣體（也稱為Chern絕緣體）的系統中觀察到。[1]2013年，由清華大學的薛其坤領導的研究小組首次通過實驗觀察到了這種效果。[2]

普林斯頓大學的鄧肯·霍爾丹（Duncan Haldane）將教我們一個有趣的二維玩具模型，他於1988年推出了這種玩具模型，該模型已成為異常量子霍爾效應的原型。

石墨烯中的狄拉克錐在上一章中，我們看到瞭如何通過交換一維繫統來獲得量子霍爾態。最後，我們的方法是首先獲得一個狄拉克錐，在其上添加一個質量項 ，最後使該質量發生變化。按照此配方，我們無需施加外部磁場即可獲得手性邊緣態。
有一個具有狄拉克錐的真實（而且非常重要）的二維繫統：石墨烯。因此，在本章中，我們將採用石墨烯連接其本身俱有手性邊緣態的失真係統。

它是一個三角形晶格，每個晶胞具有兩個原子，類型A和類型B，在圖中用紅色和藍色位點表示：

其中k =（k x，k y）並且

這裡a i是圖中的三個向量，它們連接晶格的最近鄰居[我們將晶格間距設置為1，例如a_1 =（1，0）]。引入作用於亞晶格自由度的一組保利矩陣σ，

石墨烯的離散對稱性在視頻中深入討論了石墨烯的對稱性，因此讓我們對其進行回顧。
正如我們在第一周已經說過的那樣，石墨烯是具有亞晶格對稱性的系統的原型，這使漢密爾頓塊相對於兩個亞晶格偏離對角線。亞晶格對稱性讀取

亞晶格對稱性僅是近似的，這是最近鄰緊密結合模型的結果。就像視頻中提到的反對稱一樣，它可以保護狄拉克點，並且需要替換以形成間隙。和反對稱，蜂窩晶格還具有圍繞晶胞中心的三重旋轉對稱性。這種對稱性對於使狄拉克錐首先出現很重要，但在隨後的所有步驟中都不會起作用。最後，存在時間反轉對稱性，目前該對稱性已完全保留在我們的緊密綁定模型中。由於我們沒有考慮電子的自旋自由度，因此真實空間中的時間反轉對稱算符只是複雜的共軛。在動量空間表示中，時間反轉對稱讀取



重要的是要注意，時間反轉對稱將K發送到K'，因此它交換了兩個Dirac錐。
（近似）子晶格和時間反轉對稱性的乘積產生進一步的離散對稱性，即粒子-孔對稱性


使石墨烯成為拓撲

製作石墨烯拓撲讓我們回想一下，我們的目標是使石墨烯片進入具有手性邊緣態的量子霍爾態。必要的第一步是使大部分系統空白。
我們如何才能在石墨烯中填補空白？狄拉克點受子晶格（反演）和時間反轉對稱性的保護。因此，我們可以想到很多方法來在K和K'處打開能隙。

計算如下: