隨意說說 拓撲絕緣體topological insulator

隨意說說 拓撲絕緣體topological insulator

我不學無術 來講解一下 topological insulator 的分類需要的要素

終於概念上清楚某事情

到底 topological insulator 分類 是怎樣來的 很多人說 kitaev 用K theory 我對此也很好奇 特地這幾天找了一些數學 跟物理文獻 大致了解故事劇情 

數學可參考: algebraic topo by allen hatcher or google查

hatcher

物理參考 kitaev 維基百科 跟 Martin R. Zirnbauer

Martin_Zirnbauer

首先 1950 數學家開始算homotopy group of sphere 這問題至今open 無解 但bott 發現 stable group 有週期8的 homotopy 就某個 正交群無限大的rank 如果complex 版本 則有週期2
然後 bott 又發現 給一個 symmetry space 他可以造出另一個 symmetry space 他上面的homotopy有週期

可參見維基百科 到這裡跟物理一點關係也沒有

Symmetric_space

Bott_periodicity_theorem

但1960 有人發現 clifford algebra over C and R 也有人分類 發現也有週期8 atiyah 等人 發現可以造一個map to stable group 解釋這現象
人稱bott periodicity. 到這裡跟物理還是一點關係也沒有

但後來量子霍爾效應發現 一堆怪物理發現 20xx kitaev 表明 引入symmetry 以後 fermion 的 ground state 可以視為是vector bundle 引入不同的對撐 就會生成不同的clifford algebra 由此解釋了 為何 clifford algebra 可以用來分類topological insulator
也解釋了週期8的由來

那十個類是啥小? 這來自cartan 的記號 symmetry space 可以被分成更多class 其中十類 跟物理有關 所以特別拿出來搞事
也就是表的由來

簡單說 fermion 的 ground state 可以視為是vector bundle 引入不同的對撐 就會生成不同的clifford algebra 不同的clifford algebra 對應到 symmetry space的 homotopy group 而homotopy group 在 bott 1950年代工作下 早有分類 所以才有這張表

Kiteav 文章

https://arxiv.org/abs/0901.2686

這跟K theory 關係是啥? K theory 主要研究manifold上的 vector bundle 並把她建構成abelian group 簡單說 bott period 某種程度也可以用k theory 證明 所以也可以說 kitaev適用到了 k theory
數學已經有了 但物理過了50年 才開始用到這些數學
現在純數已經進入 非交換幾何 derived category等等的年代

不曉得物理啥時會用上 這些 有錯誤可以討論 細節不懂 說說故事。