[物理]CFT 簡介

conformal field theory (中文又稱作保角場論)是一種近代在高能物理和數學各方面都有重要應用的理論， 本文主要是想對這樣的理論做一個粗淺的介紹(盡量用中文)， 更多lecture note 關於 conformal field theory 可以在 arxiv 找到。 若有任何錯誤或想討論可以告知。

What's CFT

A conformal field theory (CFT) is a quantum field theory that is invariant under conformal transformations. In two dimensions, there is an infinite-dimensional algebra of local conformal transformations, and conformal field theories can sometimes be exactly solved or classified. Conformal field theory has important applications[1] to condensed matter physics,statistical mechanics, and string theory. Statistical and condensed matter systems are indeed often conformally invariant at their thermodynamic or quantum critical points. (quote from wiki)
由此可見，CFT一個具有保角對稱的量子場論，這個不同於一般的Loretz場論和標準粒子模型(like QED)， 這有什麼好處呢?首先就是因為對稱性加強了，所以有更多的計算是可以算的，cft裡的state可以被分類成兩種， 一種叫做primary operator，一種叫做descendent operator，primary operator決定了descendent operator， 所以在cft裡面，所有的field content就是它具有那些primary operator。 以下文章只focus在三維以上的保角場論(因為二為時候的conformal group 是 infinite generator 的 virasoro algebra)。

Correlation Function

首先要知道場論的目地就是要算correlation function，在一般場論裡面correlation function牽涉到scattering amplitude，這當然很正常，因為一個物理理論，最重要的就是把你能觀察的東西跟理論能夠計算的東西作連結，然後做實驗觀察它，所以一般的場論裡面，首先寫下有哪些field(比方電子，光子，一些夸克等等)再寫下一些interaction，然後開始計算它的correlation function利用費曼圖，需要把所有可能的費曼圖加起來，中間會遇到一些問題(renormalization:重整化)，但原理上就是如此，所以計算上是非常繁瑣的，需要用到大量特殊函數和高維空間的積分等等等。
但保角場論就不一樣啦，由上述的statement，我們知道，只需要計算primary operator的correlation function 即可，而且不用利用費曼圖的技巧，也沒有重整化的問題，correlation function of two point 和 three point 都可以完全被保角對稱fixed住，這當然就非常強，和一般場論明顯不同 我們可用保角變換來確定兩點純量的函數，計算來自 Lectures on Conformal Field Theory: 一般的說 保角變換定義成:
$$ g_{\mu\nu}'(x')=c(x)\delta_{\mu\nu}(x), b(x)=\sqrt{c(x)} $$
一個scalar primary field定義成:
$$x \rightarrow x' , \mathcal{O}'(x')=b(x)^{-\Delta}\mathcal{O}(x) $$
We can use property to fixed the two point function (up to constant factor):
$$<\mathcal{O}_1\left(x_1\right)\mathcal{O}_2\left(x_2\right)>=\frac{\delta_{ij}}{\left|x_1-x_2\right|^{\Delta _1+\Delta _2}}. $$
同理三點純量函數也可以fix住:
$$<\mathcal{O}_1\left(x_1\right)\mathcal{O}_2\left(x_2\right)\mathcal{O}_3\left(x_3\right)> =\frac{\lambda _{123}}{\left|x_1-x_2\right|{}^a\left|x_2-x_3\right|{}^b\left|x_1-x_3\right|{}^c}. $$
此刻:
$$a=\frac{\left(\Delta _1+\Delta _2-\Delta _3\right)}{2},b=\frac{\left(\Delta_3+\Delta_2-\Delta_1\right)}{2},c=\frac{\left(\Delta_1+\Delta_3-\Delta_2\right)}{2}.$$
重點在於，當我們打算使用在四點的correlation function時候，會發現它沒辦法固定住:
$$<\mathcal{O}_1\left(x_1\right)\mathcal{O}_2\left(x_2\right)\mathcal{O}_3\left(x_3\right)\mathcal{O}_4\left(x_4\right)> =\left(\frac{x_{24}}{x_{14}}\right)^{\Delta_{12}}\left(\frac{x_{14}}{x_{13}}\right)^{\Delta_{34}}\frac{g(u,v)}{x_{12}^{\Delta 1+\Delta 2}x_{34}^{\Delta_3+\Delta_4}}.$$
此時 $$u=\left(\frac{x_{12}x_{34}}{x_{13}x_{24}}\right)^2,v=\left(\frac{x_{12}x_{34}}{x_{23}x_{14}}\right)^2.$$，$$(u, v)$$ 叫做 conformal cross ratio, 注意到: \(u, v\)(是conformal invariant. 所以g(u, v) can be any 函數. 對於具有spin的情況我們需要更有效率的做法，叫做embedding formalism 在這裡不多說惹.

OPE

似乎到了上一步，我們就做不下去了，這時需要一個強大的物件，就是"OPE"，OPE是一個神奇的物件，如果我們假定OPE是正確的，那麼我們就有了很妙的東西，簡單的說ope 就是當你把兩個field成在一起時候可以把它展開成其他field: $$ \mathcal{O}_1\left(x_1\right)\mathcal{O}_2\left(x_2\right)=\sum_{\mathcal{O}} \lambda_{12\mathcal{O}}\mathcal{O}\left(x_{12},\partial y\right)\mathcal{O}(y)|{y=0} $$ 這有啥麼用? 簡單說: 就是 這樣我們就可以把四點的函數，related to 三點的函數

Scalar And Spinning Conformal Blocks

Conformal Blocks 是cft的最後一個重點物件之一，後面的conformal bootstrap都要依賴他，計算conformal block 主要是運用以下方法 Conformal Partial Waves: Further Mathematical Results using the Casimir differential equation: 使用 OPE expasion, g(u, v) 可以被分解為conformal blocks:
$$ \left(\sum_{i=4} M_{iAB}\right)<\mathcal{O}_1\left(P_1\right)\mathcal{O}_2\left(P_2\right)\mathcal{O}_3\left(P_3\right)\mathcal{O}_4\left(P_4\right)>=0 $$

$$ \frac{1}{2}M_{AB}M^{AB}\mathcal{O}_i\left(P_i\right)=c_{\Delta ,l}\mathcal{O}_i\left(P_i\right). $$

$$ c_{\Delta ,l}=\Delta (\Delta -d)+l(l+d-2). $$
We get
$$ \left(\frac{1}{2}\left(M_{1AB}+M_{2AB}\right){}^2-c_{\Delta ,l}\right)W_{\mathcal{O}_{\Delta, J}}\left(P_i\right)=0. $$
Dolan and Osborn 計算了 closed form expressions for the conformal blocks of an arbitrary spin-l primary in d = 2, 4. 奇數維度情況則沒有closed form, 只有積分表達式.
$$ W_{\mathcal{O}_{\Delta, l}}=\left(\frac{x_{24}}{x_{14}}\right)^{\Delta_{12}}\left(\frac{x_{14}}{x_{13}}\right)^{\Delta_{34}}\frac{g_{\Delta, l}(u,v)}{x_{12}^{\Delta _1+\Delta 2}x_{34}^{\Delta _3+\Delta _4}}. $$
此刻 $$(\Delta, l)$$ 是中間可能出現的primary field.

Conformal Bootstrap

Conformal Bootstrap 可以視為conformal field theory的心臟，我不知道bootstrap要怎麼翻譯，不過也不重要，重要的是Conformal Bootstrap是用來解保角場論，一開始先假定你的CFT的spectrum， 有哪些 primary fields，決定它的scaling dimension和representation， 然後開始Conformal Bootstrap來檢測是否滿足crossing symmetry，所以我們可以講， 一個well defined的CFT 就是自洽的OPE和a set of primary fields. 一定承認了這個定義，那這個場論原則上就被全部解出，因為更高點Correlation Function都可以被OPE簡化成四點的， 這樣就完整的解出這個場論(以下演示一下方法)。 We have the conformal block expansion (四個一樣的scalar): $$<\phi_1\left(x_1\right)\phi_2\left(x_2\right)\phi_3\left(x_3\right)\phi_4\left(x_4\right)>=\frac{g(u,v)}{x_{12}^{2\Delta_{\phi}}x_{34}^{2\Delta_{\phi}}}$$ $$g(u,v)=\Sigma\lambda_{\phi\phi\mathcal{O}}^2 g_{\Delta,l}(u, v)$$ 如果我們交換展開的順序1換成3,2換成4 則會有 $$g(u,v)=(\frac{u}{v})^{\Delta_{\phi}} g(v, u)$$ 這個複雜的條件就叫做crossing symmetry. 也就是bootstrap condition.一般會使用semidefinite programming來解決這個問題

explanation

一些目前研究的狀況和前景

CFT復甦大概是在2008年開始:計算 3d ising model 的臨界點所導出來的，然後大家開始做了4維的Conformal Bootstrap，不只限於4個scalar，也有人在研究三維的fermion和增加了超對稱的cft. 另一個方向是來自1995 Juan Maldacena 的 conjecture called AdS/CFT correspondence 可以藉由計算Witten Diagram(類似於費曼圖在AdS空間中)來得到對應的CFT的部分資訊。這些類似文章在arxiv都有很多介紹惹。