[Mathematics]Cohomology and homology

緣起

之前偶不是數學系的,但對homology and cohomology 相關理論覺得很有興趣,且大學也修過分析代數相關課程,加上自己之前要讀一些string theory 相關的topics, 去過台大數學系修過一些Algebraic topology, 覺得有不少心得, 如果推薦open course, 可以看齊震宇教授的Youtube 影片
個人覺得非常硬, 需要很多代數知識, 如果完全沒有接觸過的話,可以看一個國外老先生教授的介紹, 是稍微簡單的, 而且喜歡用比較直覺的方式和畫圖來理解,

課本部分, 經典款式看 Allen Hatcher 的 algebraic topology 這本書也偏難, 但是中間部分可以連結到 sheaf之類(太難XD) 本書也是上網可以下載的唷(free download) 我在這文章指些微討論 cohomology 相關的東西, 也算替自己保留一些note, 有錯誤歡迎討教

definition

要搞cohomology/homology 在代數拓撲裡面, 是研究simplicial cohomology, general cohomology 牽涉到 exact sequence, 先介紹一下 exact sequence的概念. $$ 0 \overset{d}{\rightarrow }C_{0} \overset{d}{\rightarrow } C_{1}.....\overset{d}{\rightarrow } C_{n}\overset{d}{\rightarrow }0 $$ 滿足$$ d^2=0 \text{ for all abelian groups or vector spaces} C_{n}$$ 所以常識告訴你: $$Im(C_{n-1} \overset{d}{\rightarrow } C_{n}) \subset ker(C_{n} \overset{d}{\rightarrow } C_{n+1})$$ 這式子就告訴你, image 從左邊過來的, 是右邊那個 group or vector space的 subgroups or subspaces, 所以自然而然 想到定義: $$ H^n(C^{\cdot })=\frac{ker(C_{n} \overset{d}{\rightarrow } C_{n+1})}{Im(C_{n-1} \overset{d}{\rightarrow } C_{n})} $$